V'higadeta L'bincha (Shemos 13:8): The Haggadah as a Tool for Educating Our Children?

I was discussing the mitzva of chinuch (education) on Shabbos. The statement was made that Pesach is the epitome of the process of chinuch where we are required to perpetuate the Mesorah regarding the redemption from Egypt. Everyone agreed that the verse of  V'higadeta L'bincha is a command to teach your children about the events of Egypt. That is why there is the discussion in the Hagadda about four sons - each of whom needs to be taught in a unique way with a sensitivity to his ability to grasp and digest what is being told him. Right?

See for example these words of Rav Mordechai Willig

Or these from Hamodia

However this is clearly not true according to my understanding of the Sefer Chinuch. 

Please look at the Chinuch  and explain how his explanation about the mitzva reflects that it is a concern with the father passing the mesora on to his children i.e. that the focus is on influencing the children.

ספר החינוך - מצוה כא

מצות סיפור יציאת מצרים:

לספר בענין יציאת מצרים בליל חמשה עשר בניסן כל אחד כפי צחות לשונו, ולהלל ולשבח השם יתברך על כל הנסים שעשה לנו שם, שנאמר [שמות י"ג, ח'] והגדת לבנך וגו'. וכבר פירשו הכמים דמצות הגדה זו היא בליל חמשה עשר בניסן בשעת אכילת מצה, ומה שאמר הכתרב לבנך, דלאו דוקא בנו, אלא אפילו עם כל בריה:

וענין המצוה, שיזכור הניסים והענינים שאירעו לאבותינו ביציאת מצרים, ואיך לקח האל יתברך נקמתינו מהן. ואפילו בינו לבין עצמו, אם אין שם אהרים, חייב להוציא הדברים בפיו כדי שיתעורר לבו בדבר, כי בדבור יתעורר הלב:

משרשי מצוה זו, מה שכתוב בקרבן הפסח. ואין מן התימה אם באו לנו מצוות רבות על זה, מצוות עשה ומצוות לא תעשה, כי הוא יסוד גדול ועמוד חזק בתורתנו ובאמונתנו. ועל כן אנו אומרים לעולם בברכותינו ובתפלותינו זכר ליציאת מצרים, לפי שהוא לנו אות ומופת גמור בחידוש העולם, וכי יש אלוה קדמון הפץ ויכול, פועל כל הנמצאות אל היש שהם עליו, ובידו לשנותם אל היש שיחפוץ בכל זמן מן הזמנים, כמו שעשה במצרים ששינה טבעי העולם בשבילנו, ועשה לנו אותות מחודשים גדולים ועצומים, הלא זה משתק כל כופר בחידוש העולם, ומקיים האמונה בידיעת השם יתברך, וכי השגהתו ויכלתו בכללים ובפרטים כולם: